Тема:

Декартовы координаты и векторы в пространстве

  • Где лежат те точки пространства, для которых координаты х и у равны нулю?
  • Дана точка А(1;2;3). Найдите основание перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси и координатные плоскости.
  • Найдите расстояния от точки (1;2;-3) до:
    1) координатных плоскостей;
    2) осей координат;
    3) начала координат.
  • Найдите точки, равноотстоящие от точек (0;0;1), (0;1;0), (1;0;0) и отстоящие от плоскости yz на расстояние 2.
  • На оси х найдите точку С(х;0;0), равноудаленную от двух точек А(1;2;3), В(-2;1;3).
  • Составьте уравнение геометрического места точек пространства, равноудаленных от точки А(1;2;3) и начала координат.
  • Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, если:
  • Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, если:
  • Даны один конец отрезка А(2;3;-1) и его середина С(1;1;1). Найдите второй конец отрезка В(х;у;z).
  • Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если координаты трех других вершин известны:
  • Докажите, что середина отрезка с концами в точках А(а;с;-Ь) и В(-а;d;b) лежит на оси у.
  • Докажите, что середина отрезка с концами в точках С(a;b;c) и D(p;q;-c) лежит в плоскости ху.
  • Докажите, что преобразование симметрии относительно координатной плоскости ху задается формулами х' = х, у' = у, z' = -z.
  • Даны точки (1;2;3), (0;—1;2), (1;0;—3). Найдите точки, симметричные им относительно начала координат.
  • Докажите, что преобразование симметрии относительно точки есть движение.
  • Докажите, что преобразование симметрии относительно плоскости есть движение.
  • Докажите, что при движении в пространстве круг переходит в круг того же радиуса.
  • Докажите, что при движении в пространстве три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, также лежащие на одной прямой.
  • При параллельном переносе точка А(2;1;-1) переходит в точку А'(1;-1;0). В какую точку переходит начало координат?
  • Существует ли параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В, а точка С — в точку D, если:
    1) А(2;1;0), В(1;0;1), С(3; -2;1), D(2;-3;0);
    2) А(-2;3;5), В(1;2;4), С(4;-3;6), D(7;-2;5);
    3) А(0;1;2), В(-1;0;1), С(3;-2;2), D(2;-3;1)