Тема:

Окружность

  • Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.
  • Прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О, В и С — точки касания. Через произвольную точку X, взятую на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки АВ и АС в точках М и N. Докажите, что периметр треугольника AMN
  • Две окружности имеют общую точку М и общую касательную в этой точке. Прямая АВ касается одной окружности в точке А, а другой — в точке В. Докажите, что точка М лежит на окружности с диаметром АВ.
  • Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1. Докажите, что градусные меры дуг АВ и АВ1, меньших полуокружности, равны.
  • Точки А, В, С и D лежат на окружности. Докажите, что если ∪AB = ∪CD, то AB=CD.
  • Отрезок АВ является диаметром окружности, а хорды ВС и AD параллельны. Докажите, что хорда CD является диаметром.
  • По данным рисунка 237 докажите, что
  • Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие. Докажите, что угол между ними измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла.
  • Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо стороне? Ответ обоснуйте.
  • Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.
  • Четырехугольник ABCD описан около окружности радиуса r. Известно, что АВ : CD=2 : 3, AD : ВС=2 : 1. Найдите стороны четырехугольника, если его площадь равна S.
  • Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.
  • Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность.
  • Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями а и b.
  • Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.
  • В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром О1 и около него описана окружность с центром O2. Докажите, что точки О1 и O2 лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.
  • Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат.
  • Докажите, что если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырехугольника можно описать окружность.
  • Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла АОВ и пересекающиеся в точке С внутри угла. Докажите, что около четырехугольника АСВО можно описать окружность.
  • Докажите, что около выпуклого четырехугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность.