Тема: Сравните числа а и b, если:
а) а - b = -0,001; б) а - b = 0; в) а - b = 4,3. Известно, что a < b. Может ли разность а - b выражаться числом 3,72? -5? 0? Даны выражения 3а(а + 6) и (3а + 6)(а + 4).
Сравните их значения при а = -5; 0; 40. Докажите, что при любом а значение первого выражения меньше значения второго. Даны выражения 4b(b + 1) и (2b + 7)(2b - 8).
Сравните их значения при b = -3; -2; 10. Можно ли утверждать, что при любом значении b значение первого выражения больше, чем значение второго? Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:
а) 3(а + 1) + а < 4(2 + а); в) (а - 2)2 > а(а - 4);
б) (7р - 1)(7р + 1) < 49р2; г) (2а + 3)(2а + 1) > 4а(а + 2). Докажите неравенство:
а) 2b2 - 6b + 1 > 2b(b - 3); б) (с + 2)(с + 6) < (с + 3)(с + 5);
в) р(р + 7) > 7р - 1; г) 8у(3у - 10) < (5у - 8)2. Верно ли при любом х неравенство:
а) 4х(х + 0,25) > (2х + 3)(2х - 3); б) (5х - 1)(5x + 1) < 25x2 + 2;
в) (3x + 8)2 > 3x(x + 16); г) (7 + 2x)(7 - 2х) < 49 - х(4х + 1)? Докажите неравенство:
а) а(а + b) ≥ ab; б) m2 - mn + n2 ≥ mn;
в) 10а2 - 5а + 1 ≥ а2 + а; г) 2bс ≤ b2 + с2;
д) а(а - b) ≥ b(а - b); е) а2 - а ≤ 50а2 - 15а + 1. Увеличится или уменьшится дробь a/b, где а и b - натуральные числа, если к её числителю и знаменателю прибавить по 1?
Докажите, что при а > 0 верно неравенство
(a+2)/a - 2 ≥ 2 - (a+2)/2. Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2. Докажите неравенство:
a) (c2+1)/2 ≥ с; б) c/(c2+1) ≤ 1/2. Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство:
а) а2 - 6а + 14 > 0; б) b2 + 70 > 16b. Выберите из данных неравенств такое, которое не является верным при любом значении а.
1. а2 > 2а - 3 3. 4а - 4 < а2
2. а2 + 6 > 4а 4. 8а - 70 < а2 Докажите, что если а и b - положительные числа и а2 > b2, то а > b. Пользуясь этим свойством, сравните числа:
а) √б + √3 и √7 + √2; в) √5 - 2 и √6 - √3;
б) √3 + 2 и √6 + 1; г)√10 - √7 и √11 - √6..
1) Проведите доказательство приведённого утверждения,
2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто - задания б) и г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено сравнение выражений. Исправьте ошибки, если они допущены. Докажите, что при а ≥ 0 и b ≥ 0 верно неравенство
(a+b)/2 ≤ √(a2+b2)/2. Что больше: а3 + b3 или ab(a + b) > если а и b - неравные положительные числа? К каждому из чисел 0, 1, 2, 3 прибавили одно и то же число k. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности чисел с произведением средних её членов.
Свойства числовых неравенств
а) а - b = -0,001; б) а - b = 0; в) а - b = 4,3.
Сравните их значения при а = -5; 0; 40. Докажите, что при любом а значение первого выражения меньше значения второго.
Сравните их значения при b = -3; -2; 10. Можно ли утверждать, что при любом значении b значение первого выражения больше, чем значение второго?
а) 3(а + 1) + а < 4(2 + а); в) (а - 2)2 > а(а - 4);
б) (7р - 1)(7р + 1) < 49р2; г) (2а + 3)(2а + 1) > 4а(а + 2).
а) 2b2 - 6b + 1 > 2b(b - 3); б) (с + 2)(с + 6) < (с + 3)(с + 5);
в) р(р + 7) > 7р - 1; г) 8у(3у - 10) < (5у - 8)2.
а) 4х(х + 0,25) > (2х + 3)(2х - 3); б) (5х - 1)(5x + 1) < 25x2 + 2;
в) (3x + 8)2 > 3x(x + 16); г) (7 + 2x)(7 - 2х) < 49 - х(4х + 1)?
а) а(а + b) ≥ ab; б) m2 - mn + n2 ≥ mn;
в) 10а2 - 5а + 1 ≥ а2 + а; г) 2bс ≤ b2 + с2;
д) а(а - b) ≥ b(а - b); е) а2 - а ≤ 50а2 - 15а + 1.
(a+2)/a - 2 ≥ 2 - (a+2)/2.
a) (c2+1)/2 ≥ с; б) c/(c2+1) ≤ 1/2.
а) а2 - 6а + 14 > 0; б) b2 + 70 > 16b.
1. а2 > 2а - 3 3. 4а - 4 < а2
2. а2 + 6 > 4а 4. 8а - 70 < а2
а) √б + √3 и √7 + √2; в) √5 - 2 и √6 - √3;
б) √3 + 2 и √6 + 1; г)√10 - √7 и √11 - √6..
1) Проведите доказательство приведённого утверждения,
2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто - задания б) и г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено сравнение выражений. Исправьте ошибки, если они допущены.
(a+b)/2 ≤ √(a2+b2)/2.