Тема:

Свойства числовых неравенств

  • Сравните числа а и b, если:
    а) а - b = -0,001; б) а - b = 0; в) а - b = 4,3.
  • Известно, что a < b. Может ли разность а - b выражаться числом 3,72? -5? 0?
  • Даны выражения 3а(а + 6) и (3а + 6)(а + 4).
    Сравните их значения при а = -5; 0; 40. Докажите, что при любом а значение первого выражения меньше значения второго.
  • Даны выражения 4b(b + 1) и (2b + 7)(2b - 8).
    Сравните их значения при b = -3; -2; 10. Можно ли утверждать, что при любом значении b значение первого выражения больше, чем значение второго?
  • Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:
    а) 3(а + 1) + а < 4(2 + а);  в) (а - 2)2 > а(а - 4);
    б) (7р - 1)(7р + 1) < 49р2;  г) (2а + 3)(2а + 1) > 4а(а + 2).
  • Докажите неравенство:
    а) 2b2 - 6b + 1 > 2b(b - 3);  б) (с + 2)(с + 6) < (с + 3)(с + 5);
    в) р(р + 7) > 7р - 1;            г) 8у(3у - 10) < (5у - 8)2.
  • Верно ли при любом х неравенство:
    а) 4х(х + 0,25) > (2х + 3)(2х - 3); б) (5х - 1)(5x + 1) < 25x2 + 2;
    в) (3x + 8)2 > 3x(x + 16);             г) (7 + 2x)(7 - 2х) < 49 - х(4х + 1)?
  • Докажите неравенство:
    а) а(а + b) ≥ ab;              б) m2 - mn + n2 ≥ mn;
    в) 10а2 - 5а + 1 ≥ а2 + а; г) 2bс ≤ b2 + с2;
    д) а(а - b) ≥ b(а - b);       е) а2 - а ≤ 50а2 - 15а + 1.
  • Увеличится или уменьшится дробь a/b, где а и b - натуральные числа, если к её числителю и знаменателю прибавить по 1?
  • Докажите, что при а > 0 верно неравенство
    (a+2)/a - 2 ≥ 2 - (a+2)/2.
  • Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2.
  • Докажите неравенство:
    a) (c2+1)/2 ≥ с; б) c/(c2+1) ≤ 1/2.
  • Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство:
    а) а2 - 6а + 14 > 0; б) b2 + 70 > 16b.
  • Выберите из данных неравенств такое, которое не является верным при любом значении а.
    1. а2 > 2а - 3  3. 4а - 4 < а2
    2. а2 + 6 > 4а 4. 8а - 70 < а2
  • Докажите, что если а и b - положительные числа и а2 > b2, то а > b. Пользуясь этим свойством, сравните числа:
    а) √б + √3 и √7 + √2; в) √5 - 2 и √6 - √3;
    б) √3 + 2 и √6 + 1;     г)√10 - √7 и √11 - √6..
    1) Проведите доказательство приведённого утверждения,
    2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто - задания б) и г), и выполните их.
    3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено сравнение выражений. Исправьте ошибки, если они допущены.
  • Докажите, что при а ≥ 0 и b ≥ 0 верно неравенство
    (a+b)/2 ≤ √(a2+b2)/2.
  • Что больше: а3 + b3 или ab(a + b) > если а и b - неравные положительные числа?
  • К каждому из чисел 0, 1, 2, 3 прибавили одно и то же число k. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности чисел с произведением средних её членов.