Тема:

Доказательство неравенств

  • Докажите неравенство:
    а) а2 + b2 + 4 ≥ 2(а + b + 1); б) 4а2 + b2 > 4(а + b - 2).
  • Докажите, что если х > 0 и у > 0, то:
    а) x/y2 + y/x2 ≥ 1/x + 1/y; б) x2/y + y2/x ≥ x + y.
  • Докажите, что при а > 0 и b > 0 верно неравенство:
    а) (а + b)(аb + 16) ≥ 16ab;
    б) (а2 + 4b)(4b + 25) ≥ 80аb.
  • Докажите, что:
    а) (a+b)/c + (b+c)/a + (а+с)/b ≥ 6, если а > 0, b > 0, c > 0;
    б) (1 + а)(1 + b)(1 + с) > 24, если а > 0, b > 0, c > 0 и аbс = 9.
  • Докажите, что куб полусуммы любых двух положительных чисел не превосходит полусуммы их кубов.
  • Докажите, что √(a+c)(b+d) ≥ √ab + √cd, если а > 0, b > 0, c > 0, d > 0.
  • Докажите, что при а > 0, b > 0, с > 0 верно неравенство
    3/(а+b+с) < 1/(а+b) + 1/(b+с) + 1/(c+a).
  • Докажите, что если х + у + z = 1, то
    √4x+1 + √4у+1 + √4z+1 ≤ 5.
  • Докажите, что при любом а, большем 1, верно неравенство
    1/√a < √a+1 - √a-1.
  • Велосипедист рассчитал, с какой скоростью он должен ехать из посёлка в город и обратно, чтобы, пробыв в городе полчаса, вернуться в посёлок к намеченному сроку. Однако на пути из посёлка в город он ехал со скоростью, на 2 км/ч меньшей намеченной, а спустя полчаса возвращался из города в посёлок со скоростью, на 2 км/ч большей намеченной. Успел ли велосипедист вернуться в посёлок к назначенному сроку?
  • Докажите неравенство:
    а) (6у -1)(у + 2) < (3у + 4)(2у + 1);
    б) (3у - 1)(2у + 1) > (2у - 1)(2 + 3у).
  • Докажите неравенство:
    а) (х + 1)2 ≥ 4х;   в) 4(х + 2) < (х + 3)2 - 2х;
    б) (3b + 1)2 > 6b; г) 1 + (m + 2)2 > 3(2m - 1).
  • Верно ли неравенство:
    а) √7 + 2√5 < 2 + √35;  б) 4√6 + 2 > 2√3 + 4√2?
  • Докажите неравенство:
    а) а2 + b2 + 2 ≥ 2(а + b);
    б) а2 + b2 + с2 + 5 > 2(а + b + с).
  • а) Докажите, что при а > 3 значение выражения ((a-3)/(a+3) - (a+3)/(a-3)) (1 + 3/a) отрицательно.
    б) Докажите, что при у > 1 значение выражения (y2+3)/(y-1) - 2/y : (1/(y2-y) + (y-3)/(y2-1)) положительно.
  • В каком случае катер затратит больше времени: если он пройдёт 20 км по течению реки и 20 км против течения или если он пройдёт 40 км в стоячей воде?
  • (Задача-исследование.) Моторная лодка прошла в один день некоторое расстояние по течению реки и вернулась обратно. В другой день она прошла такое же расстояние по течению более быстрой реки и также вернулась обратно. В какой из дней лодка затратила на весь путь больше времени?
    1) Выскажите предположение об ожидаемом ответе.
    2) Введите обозначения: х км/ч - скорость лодки в стоячей воде; у км/ч и z км/ч - скорости течения первой и второй рек;
    s км - расстояние, на которое отплывала лодка.
    3) Запишите формулы для вычисления времени t1 ч и t2 ч, затраченного лодкой на весь путь в каждый из дней.
    4) Найдите разность t1 - t2 и, оценив её, ответьте на вопрос задачи.
    5) Подтвердилось ли ваше предположение?
  • Велосипедисты Смирнов и Антонов отправились одновременно из посёлка в город и, пробыв в городе одинаковое время, вернулись в посёлок. Смирнов в город и обратно ехал со скоростью 15 км/ч, а Антонов в город ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем Смирнов, а возвращался со скоростью, на 1 км/ч меньшей, чем Смирнов, Кто из велосипедистов вернулся в посёлок раньше?
  • Докажите, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон.
  • Сравните площадь квадрата с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр.