Постулат Бертрана
Французскому математику Жозефу Луи Франсуа Бертрану (1822-1900) при исследовании некоторых вопросов из высшей алгебры пришлось воспользоваться одним интересным свойством простых чисел. Бертран не мог доказать это утверждение и принял его в качестве постулата.
Постулат Бартрана.
Между n и 2n обязательно найдётся простое число p, каково бы ни было натуральное n.
Доказать постулат Бертрана удалось выдающемуся русскому математику Пафнутию Львовичу Чебышеву. Мы приведём упрощённый вариант доказательства Чебышева, в котором применяется его замечательное тождество о связи между произведением наименьших общих кратных и факториалом числа.
Начнём с определения двух важных понятий арифметики- канонического разложения натурального числа и показателя пристого числа в каноническом разложении.
Если в разложении натурального числа n на простые сомножители записать произведение одинаковых сомножителей p в виде p то получится каноническое разложение числа n:
n= p1 * ... * ps ,
где все простые числа p1,..., ps различны (например, 360 = 23*32*5 ).
Будем говорить, что простое число p входит в разложение n с показателем, если p>pk. Eсли же n не делится на простое число p, то будем считать, что показатель равен нулю.
Обозначим через А(х) наименьшее общее кратное всех натуральных чисел, не превосходящих х: А(х) = НОК(1, 2, ..., [х]).
Легко понять, что каждое простое р входит в разложение А(х) на простые сомножители в степени kp, где kp - максимальное целое число, удовлетворяющее неравенству
х ≥ pkp, то есть kp равно числу решений данного неравенства в натуральных k.
Найдём теперь показатель аp(х), с которым простое p входит в произведение А(х)*А(х/2)*А(х/3)*...*А(х/[х]). Очевидно, что ар(х) равно числу решений неравенства х/2 ≥ рk в натуральных n и k. При каждом фиксированном k имеется [х/pk] решений этого неравенства, следовательно, ар(х)= [х/р]+[х/р2]+[х/р3]+ ... = vp(х), т. е. разложение на простые сомножители произведения совпадает с разложением на простые сомножители [х]!. Тем самым доказано
Тождество Чебышева. При любом х ≥ 1 верно А(х)*А(х/2)*А(х/3)*...*А(х/[x])=[x]!
Основная идея доказательства постулата Бартрана состоит в том, что достаточно проверить справедливость неравенства А(х)/А(х/2)>А2(√х). (*)
Действительно, предположим, что при некотором х = 2n нет ни одного простого числа такого, что х/2< р ≤ х. Тогда показатель р в разложении числа А(х)/А(х/2), равный количеству натуральных k, удовлетворяющих неравенствам х/2< рk ≤ х, будет равен сумме числа решений неравенств
х/2< p2k ≤ x и числа решений неравенств х/2
Очевидно, что эта сумма не привосходит удвоенного числа решений неравенства pk ≤ √x, т. е. не превосходит показателя р в разложении на простые сомножители числа А2(√х).
Следовательно, А(х)/А(х/2) ≤ A2(√х), что противоречит неравенству
Будем предполагать, что х ≥ 2000 (при меньших значениях х проверка постулата Бертрана не представляет сложности). Заменив в тождестве Чебышева х на х/2 и приведя несложные преобразования, получим основную формулу:
Заметим, что А(х) при увеличении х не убывает, поэтому из основной формулы следуют оценки:
Пусть [х/2] = m, т.е. m ≤ х/2 < m+1. Тогда, применяя неравенство 2k+1 ≤ 3k, получим
Аналогично, вследствии неравенства 2k+1 ≥ 2k,
Применяя неравенство 1), находим
Отсюда следуют оценки:
Теперь, применяя последнюю оценку, из неравенства 2) получаем:
Таким образом, для доказательства (*), а, значит, и постулата Бертрана, нам осталось проверить, что при целых х ≥ 2000 справедливо неравенство:
1,1х > 4(х+1) * 62√х . (**)
При х = 2000 это неравенство выполняется, в чём можно убедиться непосредственно вычислением.
Заметим, что при увеличении натурального х ≥ 2000 на единицу левая часть неравенства (**) увеличивается в 1,1 раза, а правая - менее чем в 1,05 раза, так как
Следовательно, неравенство (**) остаётся справедливым для всех х ≥ 2000. что и требовалось доказать.
Итак, постулат Бертрана доказан при всех n ≥ 1000. При меньших значениях n постулат Бертрана проверяется непосредственно, с помощью таблиц простых чисел.
« назад в меню