Простые числа вида 6k + 1

В этом разделе мы докажем, следующее утверждение:

любое простое число р>3 можно представить в виде p = 6k ± 1, где k - натуральное число.

Разделим простое число р на 6 и, по теореме о делении с остатком, получим p = 6k + r , где r - цифра 1, 2, 3, 4 или 5 - остаток от деления числа р на 6. Переберём их :

1. r = 1 => р = 6k + 1, получили верное утверждение;


2. r = 2 => p = 6k + 2, р делится на 2, получаем,что р не простое,что противоречит условию задачи;


3. r = 3 => р = 6k + 3, р делится на 3, т.е. р не простое, пришли к противоречию;


4. r = 4 => p = 6k + 4, p делится на 2, что противоречит условию задачи;


5. r = 5 => p = 6k + 5 = 6k + (6 - 1) = 6(k + 1) - 1 = 6m - 1, т.е. можно представить в виде 6k ± 1.

Получилось, что любое простое число р>3 можно представить в виде 6k ± 1.

---

Задачи, при решении которых используется данное утверждение:

1. Пусть р простое число и р>3. Докажите, что (р²-1) делится на 24.


2. Докажите, что если р и 2р простые числа (р>3), то 4р + 1 - составное.

Докажем первое утверждение.


Подставим вместо р выражение 6k ± 1, получим:

p² - 1 = (6k ± 1)² - 1 = (36k² ± 12k + 1) - 1 = 12k(3k ± 1).

Таким образом, получили, что р² - 1 делится на 12.



Докажем теперь, что k(3k ± 1) делится на 2. Для этого рассмотрим два случая:

1. пусть k - чётное, тогда k(3k ± 1) делится на 2;


2. пусть k - нечётное, то 3k ± 1 чётное и k(3k ± 1) делится на 2.

Получили, что р²-1 делится на 24, что и требовалось доказать.

« назад в меню