Теорема Евклида

Здесь мы рассмотрим доказательство Евклида того, что ряд простых чисел - бесконечен (книга 11, приложение 20 "Начал").
Это доказательство может служить образцом изящества и простоты.

Пусть Р - простое число. Рассмотрим произведение всех простых чисел от 2 до P, добавим к нему 1 и положим N = 2*3*5*...*P+1.

Это число не может делиться на 2, так как если бы оно делилось на 2, то и разность N - 2*3*5*...*P делилась бы на 2.

Но разность этих чисел равна 1 и не делится на 2.

Аналогично убеждаемся в том, что N не может делится на 3, на 5 и вообще ни на какое другое число вплоть до P.

С другой стороны, N должно делиться на какое-нибудь простое (на само себя, если N простое, или на любой простой делитель N, если N составное).

Следовательно, существует простое число, отличное от любого из простых 2, 3, 5, ..., P и потому большее P.

Таким образом ряд простых чисел оборваться не может.

« назад в меню