Арифметические прогрессии и простые числа

Рассмотрим все натуральные числа, дающие при делении на 3 остаток 2: 2, 5, 8, 11, 14,... Общий вид таких чисел 3n + 2. Докажем, что среди таких чисел бесконечно много простых чисел.

Для этого несколько видоизменим доказательство, а именно, будем рассматривать вместо числа N = 2 ^*3 ^*5 ^*...^*p + 1 число M = 2 ^* 3 ^* 5 ^* ... ^*p - 1, которое будучи на 1 меньше числа, кратного 3, является членом последовательности 2, 5, 8, 11, 14,..., 3n + 2,...

Число M, так же как и N, не делится ни на одно из простых чисел 2, 3, 5,..., p. Число М может быть само простым или же может раскладываться на несколько простых множителей. Интересно, имеется ли среди полученых множителей такой, который имел бы вид 3n + 2?

Допустим, что нет, т. е. предположим, что все простые множители числа М имеют вид 3k + 1. Но тогда и их произведение имеет вид 3k + 1, а это противоречит тому, что М имеет вид 3n + 2.
Следовательно, наше допущение неверно, и хотя бы один простой множитель числа М имеет вид 3k + 2. Поэтому простых чисел вида 3k + 2 бесконечно много.

Приведенное рассуждение (с небольшим видоизменением) дает инструмент для доказательства бесконечности множества простых чисел вида 4k+3 и 6k+5.

Докажем бесконечность множества простых чисел вида 6k+5.

Доказательство проведем "от противного" в духе, присущем первоначальному доказательству Евклида. Предположим, что простых чисел этого вида лишь конечное число: p1, p2, ..., pn. Рассмотрим число К= 6p1p2...pn -1 = 6(p1p2...pn -1) +5. Одно из двух: либо число К само простое, либо оно разлагается на конечное число простых множителей, p1,p2, ...pn, и не все из которых имеют вид 6k+1, поскольку само k не имеет этого вида.
Значит,один из простых множителей числа k, не совпадая с p1,p2, ...pn, имеет вид 6k+5, что противоречит сделанному нами предположению.Это противоречие показывает, что список простых чисел вида 6k+5 бесконечен.

Обобщением рассмотренных вопросов является следующая теорема, сформулированная в 1788 г. французским математиком Дирихле в 1837 г.:

В любой бесконечной арифметической прогрессии a, a+d, a+2d, a+3d, в которой первый член a взаимно прост с разностью d, содержится бесконечно много простых чисел. Иными словами, функция y = d x + a, где d и a - взаимо простые целые числа, принимает бесконечно много простых значений, когда x пробегает последовательно ряд натуральных чисел.

Доказательство Дирихле не элементарно, и в течение долгих лет не было видно никаких элементарных подходов к доказательству этой замечательной теоремы. Элементарное доказательство было впервые получено в 1949 г. (через 161 год после Лежандра!) видным датским математиком А. Сельбергом, доказавшим многие очень трудные теоремы теории чисел элементарно, без использования высшей математики.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0	1	13	53	117	177	196	175	130	72	47	11	4

Таблица : фрагмент распределения простых чисел.

В таблице показано, как меняется число простых чисел на интервале от 8 900 000 до 9 000 000, разбитом на 1000 сотен. В каждом столбце таблицы нижнее число указывает количество тех сотен рассматриваемого интервала, в которых число простых чисел равно соответствующему верхнему числу столбца. Например, в одной сотне вообще нет простых чисел, в 117 сотнях встречается по 4 простых числа, в 130 сотнях - по 8 простых чисел.



« назад в меню