Двое играли в шашки. Через некоторое время на доске осталось 5 шашек. Остались ли на доске 3 шашки одного цвета

Может да, а может и нет. Смотря как сыгранно

Да остались. Предположим обратное: и белых меньше 3-х, и чёрных меньше трёх. Тогда у белых 0, 1 или 2, у чёрных 0, 1 или 2. Вместе не более 4-х - противоречие, ибо вместе должно быть 5.