Докажите, что если хорда перпендикулярна радиусу окружности и делит его пополам, то она равна стороне правильного треуголбника, вписанного в эту окружность.

Поясню решение. Центральный угол хорды вместе с ней образует равнобедренный треугольник, боковые стороны равны радиусу. Опушенная из центра окружности на хорду высота (она же медиана и биссектриса) равна половине радиуса. Это задано по условию. Следовательно, угол между этой высотой и боковой стороной (радиусом) имеет косинус, равный 1/2, то есть равен 60 градусам. Поэтому центральный угол, соответствующий хорде, равен 120 градусам. То есть хорда отсекает треть окружности. Собственно, задача уже решена, поскольку сторона равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность, тоже отсекает от окружности ровно треть.