В треугольнике АВС точка Д делит сторону СВ на СД и ВД, где СД=4 а ДВ=5.

Угол САД + угол ВАД = Угол СДа. Найти сторону АС

1. По теореме косинусов в треугольнике ВСD находим ВD = корень квадратный из (4 + 12 + 12) = корень квадратный из 28 = 2 корня квадратных из 7.

2. Проведем ВН перпендикулярно АD и заодно СМ перпендикулярно АD, для ясности.
в треугольнике СМD (прямоугольном) СМ = 1/2 СD = корень квадратный из 3, как катет лежащий против угла в 30 градусов.
Тогда и ВН = корень квадратный из 3.

3. В треугольнике ВКD (прямоугольном) по теореме Пифагора КD = корень квадратный из (28 - 3), то есть КD = 5.
В этом же треугольнике cos. КDВ = КD / ВD = 5 / (2 корня квадратных из 7). - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

4. В треугольнике АВD (прямоугольном по условию, т.к. АВ перпендикулярна к ВD), угол АDВ тот же, что и угол КDВ в треугольнике ВКD. Значит и косинус этого угла такой же.
таким образом cos. КDВ = cos. АDВ = ВD / АD (опять же отношение прилежащего катета к гипотенузе), отсюда находим АD.
АD = ВD / cos. АDВ = (2 корня квадратных из 7) / (5 / (2 корня квадратных из 7)) = 28 / 5 = 5,6.

Ответ: АD = 5,6.