1) В прямоугольном треугольнике АВС с равными катетами АС и ВС на стороне АС как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону АВ в точке М. Найдите длину отрезка ВМ, если расстояние от точки В до центра построенной окружности 3 корня из 10.

2) Найдите длину средней линии трапеции, в которой диагонали взаимно перпендикулярны, а их длины равны 10 и 24.

3) Треугольник АВС таков, что АВ не равно ВС, а отрезок, соединяющий точку пересечения медиан с центром вписанной в него окружности, параллелен стороне АС. Найдите периметр треугольника АВС, если АС=1.


1) Сначала найдем катеты треугольника. Пусть CD - середина стороны АС. Тогда  СD = BC/2. Согласно теореме Пифагора. ВС²+(BC/2)² =5*BC²/4=(3*√10)²=90, откуда  ВС²=72  и  ВС=6*√2Тогда АВ=ВС*√2=12 см. Треугольник АМС - равнобедренный прямоугольный (вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой, угол САМ = 45⁰. Следовательно АМ=АС/√2=6 см и ВМ=6 см.2) Площадь трапеции  S = АС * BD / 2 = 10 * 24 / 2 = 120 cm²Сумма оснований - гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты  которого - диагонали трапеции. Она равна  √(10²+24²)=√676=26 см. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть 26/2=13 см.3) С одной стороны S = p * r, где р - полупериметр треугольника, а r - радиус вписанной окружности. С другой стороны  S = AC * h / 2. Поскольку отрезок, соединяющий точку пересечения медиан с центром вписанной в него окружности, параллелен стороне АС, то r = h / 3. Следовательно  р = 3 * АС / 2 = 1,5 см., а периметр треугольника - 3 см.


1.  Радиус указанной окружности равен половине катета. Из пр. тр-ка ВОС (О - центр окр):OC^2 + BC^2 = BO^2r^2 + 4r^2 = 90r^2 = 18Теперь найдем квадрат гипотенузы:AB^2 = 4r^2 + 4r^2 = 8r^2 = 144Значит АВ = 12Отрезок ОМ - является радиусом и равен половине катета ВС, значит ОМ - средняя линия тр. АВС и точка М - середина гипотенузы.   Значит ВМ = 6Ответ: ВМ = 6. 2. Пусть АС = 24, BD = 10Пусть АО = х, ОС = 24-х, ОД = у, ВО = 10-у. Тогда из подобия тр-ов АОД и ВОС получим:х/(24-х)  =  у/(10-у)    или   10х = 24у    у/х = 10/24 = 5/12Но у/х = tg CAD.(из прям. тр-ка AOD). Найдем сначала cos CAD, а затем и sin CAD:1 + tg^2(CAD) = 1/(cos^2(CAD))cos CAD = 12/13     sin CAD = 5/13Проведем высоту СМ. Из пр. тр. АСМ:CM=h=AC*sin CAD = 120/13. Площадь выпуклого 4-ника:S = (d1d2sina)/2 = 120    (sina = sin90 = 1) С другой стороны:S = z *h,  где z - искомая средняя линия.Z = S/h = 120/(120/13) = 13.Ответ: 13.



Похожие задачи:
В равнобедренном треугольнике АВС угол В=120 градусов, О-точка пересечения биссектрис. окружность радиуса 2 корня из 3 см вписана в этот в этот треугольник и касается прямых ВС и АС в точках Д и Е соответственно. Найдите ВО и угла ВЕД.


смотреть решение >>
1) боковая сторона равнобедренного треугольника на 2 см больше основания, а его периметр равен 10см. Найдите стороны треугольника 2) стороны прямоугольника 2 и 3, тогда чему равна его площадь 3) гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26см, а площадь 120 см. кв. Найдите наименьший катет 4) средняя линия трапеции равна 7 см. одно из её оснований больше другого на 4 см. Найдите основания трапеции 5) катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. чему равна сумма радиусов вписанной и описанной окружностей 6) площадь квадрата 49 см. кв. чему равна диагональ квадрата 7)длина прямоугольника равна b дм, а ширина составляет 0, 2 его длины. Найдите периметр прямоугольника. составьте выражение по условию задачи 8)в равностороннем треугольнике медиана равна 15 корень квадратный из 3см. Найдите периметр треугольника 9) определите угол наклона отрезка плоскости, если длина наклонной 10см, а длина её проекции 5корень квадратный из 3 10) стороны двух, правильных шестиугольников отличаются в 3 раза. определите площадь меньшего из них если стороны большего равны 24см


смотреть решение >>
1. В произвольном треугольнике проведена средняя линия, отсекающая от него меньший треугольник. Найдите отношение площади меньшего треугольника к площади данного треугольника.

2. Вокруг трапеции описана окружность, центр которой находится на ее большем основании. Найдите углы трапеции, если ее меньшее основание в два раза меньше большего основания.

3. Угол между биссектрисой и высотой, проведенной из вершины большего угла треугольника, равен 12*. Найдите углы этого треугольника, если его наибольший угол в четыре раза больше наименьшего угла.

4. О1 и О2 - центры двух касающихся внешним образом окружностей. Прямая О1О2 пересекает первую окружность (с центром в точке О1) в точке А. Найдите диаметр второй окружности, если радиус первой равен 5 см, а касательная, проведенная из точки А ко второй окружности, образует с прямой О1О2 угол в 30*.


смотреть решение >>
1. Дан угол с вершиной внутри круга. Доказать, что этот угол тупой.

2. Из вершины А треугольника АВС проведена высота АD. Точки F и Е - середины сторон АВ и АС. Найти периметр DEF, если периметр АВС = 64 см.

3. Биссектрисы углов В и С параллелограмма АВСD пересекаются в точке М, лежащей на стороне DA. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если ВМ=6 см, а СМ=8 см.

4. В окружности радиуса √2 см проведена хорда, длина которой составляет одну треть диаметра. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.


смотреть решение >>
Вершины треугольника ABC лежат на окружности так, что сторона AC равна диаметру окружности. Серединный перпендикуляр к BCпересекает AC в точке О. Вычислите расстояние от точки О до AB, если известно, что AB = 6см, а угол BOC = 120градусов.


смотреть решение >>