Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.

Пусть даны два отрезка а и m и угол α. Надо построить ΔАВС такой, что ВС = а, ΔBCD АВ + АС = m.

Решение возможно лишь при а < m т.к. сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны.

Построим ΔBCD по двум сторонам (BD = m, ВС = а) и углу между ними (∠В = α).

Проведем серединный перпендикуляр от CD, он пересечет BD в точке А. AD = АС. Получаем искомый ΔBCD, где ВС = а, ΔBCD В = α, АВ + АС = m, т.к. АС = AD.

Если m = а, то в ΔBCD ∠С будет больше ∠D. Серединный перпендикуляр d к стороне CD по теореме 1.1. должен пересекать либо сторону ВС, либо СD.

Докажем, что серединный перпендикуляр пересекает именно BD.

Допустим, d пересекает сторону ВС в точке М, а прямую BD в точке K. Т.к. KD > BD, то ∠KCD < ∠BCD.

По свойству серединного перпендикуляра ΔDKC — равнобедренный, таким образом, ∠KCD = ∠D, но тогда ∠D > ∠BCD (т.к. m > a), то есть в ΔBCD ∠D < ∠С. Противоречие, т.е. d пересекает именно ВD.

Таким образом, задача имеет единственное решение.