Из одной точки проведены к плоскости две наклонные, проекции которых равны 4, 5 и 1, 5 дм. Найдите длины наклонных, если одна из них образует с плоскостью угол, в два раза больший, чем другая наклонная.

Расположим обе наклонных в одной вертикальной плоскости, для удобства построения. Точку из которой проведены наклонные обозначим К. Опустим из К перпендикуляр на плоскость до пересечения в точке С. Для удобства примем КС параллельно оси Y.  Из точки С проводим горизонталь АС. Угол АСК прямой. АС=4,5,   ВС=1,5. Обозначим КАС=а, тогда из условия КВС=2а. По известной формуле tg2а=2tgа/(1-tgа квадрат). КС=АСtgа=4,5 tgа. Из второго треугольника КС=ВСtg2а=(1,5 на 2tgа)/(1-tgа квадрат). Отсюда tgа=0,578. Угол а=30. Тогда искомые длины наклонных АК=АС/cosа=5,2   ВК=ВС/cos2а=3.