Докажите, что если две окружности имеют общую хорду, то прямая, проходящая через центры этих окружностей, перпендикулярна данной хорде.

Тут миллион "доказательств", самое простое - перегнуть чертеж по О1О2 (то есть по-просту все симметрично относительно О1О2, в том числе и точки А и В)... Можно и "научное" доказательство, например такое. Прямая О1О2 в ДВУХ точках - О1 и О2 - совпадает с ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ МЕСТОМ ТОЧЕК, РАВНОУДАЛЕННЫХ ОТ А и В. Поэтому - она с ним совпадает ВЕЗДЕ, потому что это самое ГМТ - ТОЖЕ прямая, перпендикулярная к АВ, проходящая через его (то есть АВ) середину. (прямые, совпадающие в 2 точках, совпадают везде, это одна из АКСИОМ ГЕОМЕТРИИ, так сказать, первоначальное знание :). А про перпендикуляр через середину отрезка вообще в начале в самом рассказывают.) Это доказательство АБСОЛЮТНО ВЕРНОЕ И ПРЕДЕЛЬНО ПРОСТОЕ, на уровне 5 класса. Разве что в школе теперь не пользуются термином ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК, ну так это не ко мне... Для тех, кто к нему не привык, объясняю, что это просто МНОЖЕСТВО ТОЧЕК с заданным свойством.