Дан прямоугольный треугольник. Соотношение катетов 7/24. От гипотенузы этого прямоугольника проходит перпендикуляр, делящий треугольник на треугольник и четырёхугольник. Отрезок этого перпендикуляра заключённый в изначальном треугольнике равен 14 см. Известно что полученный четырёхугольник можно вписать в окружность. Нужно найти радиус этой окружности.

Ответ зависит от того, какой именно катет пересекает заданный перпендикуляр. Однако, в любом случае, поскольку окружность касается трех сторон треугольника, то это - вписанная окружность. Далее, я не стану каждый раз объяснять, почему отрезки касательных из одной точки до точек касания равны, а буду сразу использовать это, не поясняя ( - нарисуйте чертеж). Кроме того, если касательная параллельна радиусу, то расстояние от ЛЮБОЙ ТОЧКИ ЭТОГО РАДИУСА до этой (параллельной ему) касательной тоже РАВНО радиусу. Тоже не буду объяснять, а сразу пользоваться. Обозначим х - некая мера измерения сторон прямоугольного треугольника, так что катеты будут 7*х и 24*х, отсюда сразу гипотенуза 25*х, радиус вписанной окружности r = (a + b - c)/2 = 3*x, отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу - 4*x и 21*x. Перпендикуляр к гипотенузе, касательный к вписанной окружности, можно провес  ти 2 способами. 1). Пусть заданный перпендикуляр пересекает МАЛЫЙ катет. Тогда его основание отстоит от вершины гипотенузы, общей с малым катетом, на4*х - 3*х = х;Отсеченный треугольник с катетами x и m=14 подобен исходному, то естьx/m = 7/24; х = 49/12; r = 49/4;2). Пусть заданный перпендикуляр пересекает БОЛЬШОЙ катет. Тогда его основание отстоит от вершины гипотенузы, общей с БОЛЬШИМ катетом, на21*х - 3*х = 18*х; (еще раз скажу - я уже объяснил раньше, почему это так Рисуйте чертеж.) Отсеченный треугольник с катетами 18*x и m=14 подобен исходному, то есть18*x/m = 24/7; х = 8/3; r = 8;