Точки M, N и K - середины ребер AD, BC и AB тетраэдара ABCD. На продолжении AN за точку N взята точка P так, что AP=2AN. Через точку P проведена прямая, параллельная плоскости DKC и пересекающая прямую CM в точке Q. Найдите отношение CQ:CM.

Проведем  дополнительные построения. Продлим лучи AB,AC,AD. В плоскости (ВАС) через  точку Р проведем прямую (К1С1) ||(KC). В плоскости (САD) через  точку С1 проведем прямую (С1D1) ||(CD). Плоскость (K1C1D1) параллельна (KCD) и проходит через точку Р. Прямая (C1D1)-линия пересечения плоскостей (АС1D1) и (K1C1D1). Прямая (MC) пересекает (C1D1) в точке Q. Точка Q принадлежит плоскостям  (АС1D1) и (K1C1D1).Прямая (PQ)-искомая прямая, которая проходит через точку Р ,Параллельная плоскости(DKC) и пересекающая прямую (СМ) в точке Q.Теперь отношение CQ:CMВ   ∆  ACD  построим среднюю линию (MA1) || (CD), тогда |АА1| =|СА1|. В   ∆  ABC  построим прямую (SA1) ||(KC)|| (K1C1). Указанные прямые по теореме Фалеса отсекают на сторонах углов < BAN и <NAC-пропорциональные отрезки. Точка Е –пересечение медиан, отрезки |NE|=1/3*AN, |AE|=2/3 *AN. Точка Z – пересечение (АЕ) и (SA1), отрезки  |EZ|=|AZ|=1/3*AN. Тогда PE:EZ=(PN+NE):EZ=(AN+1/3*AN):1/3*AN=4/3*AN:1/3*AN=4:1∆ QCC1  и  ∆ MCA1 –подобные по трем углам.CQ:CM=CC1:CA1=PE:EZ=4:1 Ответ :   отношение CQ:CM=4:1