На трех ребрах параллелепипеда даны точки А, B и С. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти точки.

Решение

При построении сечений параллелепипеда нужно руководствоваться следующим правилом (оно будет обосновано в курсе стереометрии в 10 классе): отрезки, по которым секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда, параллельны.

1) Рассмотрим сначала случай расположения точек А, B и С, изображенный на рисунке 355, а. Проведем отрезки AB и ВС. Далее, руководствуясь указанным правилом, через точку А проведем в плоскости «передней» грани прямую, параллельную BC, а через точку С в плоскости боковой грани проведем прямую, параллельную AB. Пересечения этих прямых с ребрами нижней грани дают точки Е и D (рис. 355, б). Остается провести отрезок DE, и искомое сечение — пятиугольник ABCDE — построено.

2) Обратимся теперь к случаю, представленному на рисунке 356,

а. Этот случай более трудный, чем предыдущий. Можно провести отрезки АВ и ВС (см. рис. 356, а), но что делать дальше? Поступим так. Сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания параллелепипеда. С этой целью продолжим отрезок АВ и нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и отрезок АВ, до пересечения в точке М (рис. 356, б).

Далее, через точку М проведем в плоскости нижнего основания прямую, параллельную ВС. Это и есть та прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания.

Эта прямая пересекается с ребрами нижнего основания в точках Е и F. Затем через точку Е проведем прямую, параллельную прямой АВ, и получим точку D. Наконец, проведем отрезки AF и CD, и искомое сечение — шестиугольник ABCDEF — построено.