Точка А лежит вне плоскости α, Х — произвольная точка плоскости α, Х1 точка отрезка АХ, делящая его в отношении m : n. Докажите, что геометрическое место точек Х1 есть плоскость, по параллельная плоскости α.

Возьмем в плоскости α произвольную точку Х, построим соответствующую точку Х₁ (АХ₁ : ХХ₁ = m : n) и проведем через точку Х₁ плоскость β, по параллельную α. Докажем, что плоскость β — соответствующее геометрическое место точек.

1) Для любой точки Y плоскости α точка Y₁ пересечения прямой АY₁ : Y₁Y = АХ₁ : Х₁Х = m : n, отсюда следует, что любая точка плоскости β удовлетворяет данному условию.

2) Если для точки Y плоскости α точка Y₂ делит отрезок АY в отношении m : n, то из соотношения пункта 1 следует, что точка Y₂ совпадает с точкой Y₁ и поэтому принадлежит плоскости β.

Два указанных утверждения означают, что рассматриваемое геометрическое место точек есть параллельная плоскости α плоскость в.