Может ли проекция параллелограмма при параллельном проектировании быть квадратом?

Докажем, что может. Построим квадрат ABCD в плоскости α, и проведем через прямую АВ плоскость β, отличную от плоскости α. Построим в плоскости β параллелограмм АВС₁D₁

Рассмотрим четырехугольник CDD₁C₁ — это параллелограмм. Так как CD||AB||C₁D₁ и CD = AB = C₁D₁, поэтому DD₁ || СС₁. Получили, что при проектировании параллелограмма АВС₁D₁ на плоскость α параллельно прямой СС₁, получился как раз квадрат ABCD.