Точка находится на расстоянии а и b от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.

Пусть перпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой с. Проведем перпендикуляры АВ, AD, АС. Тогда четырехугольник

ABCD — прямоугольник.

AC — искомое расстояние.

Осталось доказать, что точки А, В, С, D лежат в одной плоскости.

ВС — проекция АС на плоскость α, поэтому по теореме о трех перпендикулярах ВС ⊥ с, ВС ⊥ β (задача 58). Так как AD ⊥ β, то по теореме 18.4 прямые AD||BC а, значит, AD и BC лежат в одной плоскости. Что и требовалось доказать.

Так что