Постройте сечение параллелепипеда ABCD A1B1C1D1 плоскостью проходящей через точки A C M, где М середина ребра A1 D1
Способ а)Через две точки можно провести прямую, притом только одну. Две точки А и М принадлежат одновременно двум плоскостям: плоскости грани и секущей плоскости. ⇒ АМ - линия их пересечения.
Аналогично точки А и С принадлежат грани параллелепипеда и секущей плоскости. ⇒ АС - линия их пересечения. Плоскости А1D1DA и D1C1CD пересекаются по ребру DD1Продлим АМ и DD1 до их пересечения в точке Е. Точки Е и С лежат одновременно в двух плоскостях, ⇒ ЕС - линия их пересечения, которая пересекает ребро D1C1 в точке К.
МК - линия пересечения плоскости сечения с верхним основанием параллелепипеда. КС - линия пересечения секущей плоскости с боковой гранью D1C1CD. Трапеция МАКС - искомое сечение. Способ б)
Противоположные грани параллелепипеда – равные параллелограммы и лежат в параллельных плоскостях.. Точки А и М лежат одновременно в двух плоскостях: АДД1А1 и в секущей плоскости. Значит МА - линия пересечения этих двух плоскостей. Точки А и С лежат одновременно в двух плоскостях - АВСD и плоскости сечения. Значит, АС - линия их пересечения. По свойству параллельных плоскостей:Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Отсюда линия пересечения MM1 искомой плоскости на верхнем основании параллелепипеда параллельна АС и проходит через середины ребер А1D1 и C1D1. Соединив К и С, получим искомое сечение - трапецию АМКС
