Тема: Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трех ребер, имеющих общую вершину. Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечения плоскостями АВС1 и DCB1 а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются; б) его сечение плоскостью, проходящей через ребро СС1 и точку пересечения диагоналей грани AA1D1D). Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью BKL, где К — середина ребра AA1 , a L — середина ребра СС1. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм. Сумма площадей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна 404 дм2, а его ребра пропорциональны числам 3, 7 и 8. Найдите диагональ параллелепипеда. Найдите объем куба ABCDA1B1C1D1, если: а) АС =12 см; б) АС = 3√2 ; в) DE=1 см, где Е — середина ребра АВ. Найдите объем прямой призмы АВСА1B1С1, если AB=BC=m, ∠ABC=φ и BB1=BD, где BD — высота треугольника ABC. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объем призмы. Изобразите тетраэдр DABC, отметьте точку К на ребре DC и точки М и N граней ABC и ACD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь поверхности пирамиды, т. е. сумму площадей всех ее граней. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а сторона основания равна 13 см. В правильной n-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен а, а сторона основания равна а. Найдите объем пирамиды. Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найдите длину провода (плотность алюминия равна 2,6 г/см3). Свинцовая труба (плотность свинца равна 11,4 г/см3) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса трубы, если ее длина равна 25 м? Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288π см2. Найдите радиус основания и высоту цилиндра. Из квадрата, диагональ которого равна d, свернута боковая поверхность цилиндра. Найдите площадь ос-нования цилиндра. Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объем этого конуса, если объем отсекаемого от него конуса равен 24 см3. Высота конуса равна 12 см, а его объем равен 324π см3. Найдите дугу развертки боковой поверхности этого конуса. Вычислите площадь основания и высоту конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен 9 см, а дуга равна 120°. Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна m, а угол при основании равен φ, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при этом вращении.