Точка, лежащая в одной из пересекающихся плоскостей, удалена от второй плоскости на 6 см, а от линии их пересечения - на 12 см. Вычислите угол между плоскостями.

Даны точки М(3;0;-1), К(1;3;0), Р(4;-1;2). Найдите на оси Ох такую точку А, чтобы векторы МК и РА были перпендикулярны.

Две вершины равностороннего треугольника расположены в плоскости альфа. Угол между плоскостью альфа и плоскостью данного треугольника равен фи. Сторона треугольника равна m. Вычислите:

1) расстояние от третьей вершины треугольника до плоскости альфа;

2) площадь проекции треугольника на плоскость альфа.


1. Рисуем плоскости (в виде полуприкрытой книги).


    В верхней плоскости выбираем точку А и опускаем из неё перпендикуляр АС на нижнюю плоскость. АС=6 см.


   Из точки А проводим перпендикуляр АВ к линии пересечения плоскостей.


АВ=12 см.


   Получаем прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.


   Находим угол В через его синус: sinB=AC:AB


                           sinB=6:12=1/2


    B=30 град - это и есть угол между плоскостями.


 


2.


Даны точки М(3;0;-1), К(1;3;0), Р(4;-1;2). Найдите на оси Ох такую точку А, чтобы векторы МК и РА были перпендикулярны.


 


вектор МК(1-3;3-0;0+1)=(-2;3;1)


вектор РА(4-х;-1-у; 2-z)


 


A принадлежит оси ОХ, начит её координаты равны А(х;0;0)


 вектор РА(4-х;-1-0; 2-0)=(4-х; -1;2)


 


векторы перпендикуляны, когда их произведение равно 0.


МК*РА=-2(4-х)+3(-1)+1*2=0


           -2(4-х)-3+2=0


            -8+2х-1=0


             2х=9


              х=4,5


А(4,5;0;0) - искомая точка


 


3. Можно воспользоваться рисунком из первой задачи, причём в верхней плоскости изобразить равносторонний треугольник АВС, основание которого АВ лежит на линии пересечения плоскостей.


1) Из вершины С опускаем два перпендикуляра, один СН на нижнюю плоскость,  а второй СF - к линии пересечения плоскостей.


2) Треугольник АВС-равносторонний (по условию), АВ=ВС=АС=m


Высота AF треугольника АВС равна sqr(m^2-(m/2)^2)=msqr(3)/2


3) Теперь найдём расстояние от третьей вершины треугольника до плоскости альфа: АН=sin фи * msqr(3)/2 






Похожие задачи: