Докажите что если вершины прямоугольника являются серединами сторон некоторого параллелограмма, то этот параллелограм - ромб

----------

Дано: АВСD - параллелограмм, АК=КВ, ВМ=МС, СН=НD, DТ=ТА 

КМНТ - прямоугольник. 

КМ соединяет середины  сторон ∆ АВС  ⇒ КМ его средняя линия и параллельна АС  . 

КТ соединяет середины сторон ∆ АВD, ⇒ КТ его средняя линия и параллельна ВD (свойство) . 

Аналогично ТН║АС и МН║ВD 

Лемма: 

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая перпендикулярна к этой третьей  прямой.

КТ║ВД

 КТ⊥ТН,⇒   ВД⊥ТН; (1)

ТН║АС 

ТН⊥ВД⇒  АС⊥ВД (2)

Если диагонали параллелограмма  пересекаются под прямым углом (2), этот параллелограмм - ромб. 

--------

Вариант решения. 

Обозначим точки пересечения диагонали АС параллелограмма АВСД со сторонам КТ и МН буквами Р и Е, а точки пересечения  диагонали ВД со сторонами КМ и ТН буквами Х и У соответственно. 

Диагонали АВСД  делят стороны  ТКМН пополам. ⇒ 

РКХО=ХМЕО=ЕНУО=УТРО  и являются параллелограммами ⇒

их углы при О, противолежащие прямым углам при вершинах прямоугольника КМНТ, тоже прямые. ⇒

АС и ВД пересекаются в точке О про углом 90º. 

Если диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом, этот параллелограмм - ромб, что и требовалось доказать.