Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 6, а боковые стороны 5. Найдите расстояние между точками пересечения медиан и высот этого треугольника?

Высота к основанию равна 4 (легко вычислить 5^2-(6/2)^2 = 4^2), она же и медиана, и обе точки лежат на ней. Если достроить треугольник до "двойного" (через вершины треугольника провести линии, параллельные противоположным сторонам до пересечения), то медианы такого треугольника СОВПАДАЮТ с медианами исходного (диагонали параллелограмма делятся пополам в точках пресечения), медианы большого треугольника будут пересекать сторону исходного в середине именно поэтому. Точка же пересечения высот исходного треугольника для "двойного" является точкой пересечения медиатрисс (перпендикуляров из середин сторон), то есть это равноудаленная от вершин точка, или центр описанной вокруг "двойного" треугольника окружности. Из простого чертежа ясно, что точка пересечения медиан отстоит от вершины исходного треугольника на расстояние (2/3)*m = 8/3;
точка же пересечения медиатрисс "двойного"треугольника отстоит от основания "ДВОЙНОГО" треугольника (то есть от вершины исходного) на расстояниеx = 2*m - R; где R - радиус описанной окружности ("двойного" треугольника), ясно, что у вдвое меньшего исходного треугольника радиус описанной окружности тоже в 2 раза меньше. Осталось вычислить R, проще всего так 5/R = 8/10; кому не понятно, это записан косинус половины угла при вершине "двойного" треугольника. R = 25/4, х = 7/4, Ответ 8/3 - 7/4 = 11/12