Диагонали четырехугольника abcd взаимно перпендикулярны, AC =12 СМ, BD =15 СМ. Найдите ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА, ВЕРШИНАМИ КОТОРОГО ЯВЛЯЮТсЯ СЕРЕДИНЫ СТОРОН ДАННОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА.

Четырехугольником, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника,  будет прямоугольник, у которого стороны в два раза меньше заявленных диагоналей. Поэтому S=6*7,5=45 см^2
fxd. Ну, то, что это будет четырехугольником, нам сказано в условии. Почему он будет именно прямоугольником, увидим позже.
Доказывать будет удобнее всего, пожалуй, именно подобием.
Обозначим середину отрезка AB буквой M, середину BC буквой N, CD — O, AD — P. Рассмотрим треугольники ABC и MBN. Докажем, что они подобны:1) Угол B будет общим
2) AM=MB (т.к. точкой M мы поделили пополам)3) BN=NC (точкой N мы поделили пополам) В подобных треугольниках все соответствующие стороны пропорциональны, поэтому мы можем утверждать, что AB:MB=AC:MN. А поскольку 2AM=AB, то и 2MN=AC. Аналогично доказываем каждую сторону.
То, что этот четырехугольник — прямоугольник доказывается очень просто. Поскольку AC параллельно MN, а BD перпендикулярно AC, мы можем утверждать, что BD также перпендикулярно MN. Доказав так каждую сторону, получаем, что все углы у четырехугольника будут по 90 градусов.