В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S, высота равна диагоналям основания. Точка F лежит на ребре SC, причем SF/FC =1/4. Найти квадрат ctg угла между прямой BF и плоскостью ACF.

Если рассмотреть треугольник SOC где О - центр основания, этот треугольник лежит в плоскости ACF, то ОС = (1/2)*SO это задано в условии. Обозначим ОС как х. Если провести в треугольнике SOC (очень рекомендую сейчас нарисовать плоский чертеж этого треугольника) через точку F прямую II ОС до пересечения с SO (обозначим точку пересечения с SO как Р), то FP = x*3/4; PO = (1/4)*(2*x) = x/2;Отсюда по теореме Пифагора находим ОF = корень((x*3/4)^2 + (x/2)^2) == х*корень(13)/4;Поскольку BO перпендикулярно плоскости ACF (в этой плоскости есть 2 прямые, заведомо перпендикулярные ВО - это AC и SO), то котангенс искомого угла равен ОF/BO, а ВО = х. Ответ: корень(13)/4