Докажите, что если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон

Докажите, что если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырехугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.

Решение.

1. Площадь ромба равна S. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон ромба.

2. Две окружности с центрами в точках О1 и О2 пересекаются в точках А и А1, а отрезки АВ и АС - их диаметры. Найдите величины углов АА1В и АА1С и докажите, что точки В, А1 и С лежат на одной прямой.

3. Медианы треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 7 см пересекаются в точке О. Найдите расстояние от точки О до прямых, содержащих стороны треугольника.

4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что угол ABD=30*, угол ACB=30*, угол BDC=20*. Найти углы четырехугольника ABCD.

смотреть решение >>

Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.
смотреть решение >>

Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность.
смотреть решение >>

Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника и радиус вписаной в него окружности соответственно ровны 24 и 5. Найдите площадь четырёхугольникадолжно получится 120

смотреть решение >>