Дан треугольник, у которого из одного угла выпущены медиана, биссектриса и высота. Они разбивают угол на 4 равных. Доказать, что этот угол прямой.
Нарисуем треугольник АВС, из вершины С выходит высота СD, биссектриса CF и медиана CG (точка G дальше находится от точки D, чем точка F, причём с той же стороны, что и точка F - это ясно из того, что углы ACD, DCF, FCG, GCB по условию равны.Опишем вокруг треугольника АВС окружность.
Пусть продолжение высоты CD пересекает окружность в точке Р, продолжение биссектрисы CF пересекает окружность в точке Q, продолжение медианы CG пересекает окружность в точке R.
Из равенства углов следует равенство дуг AP, PQ, QR, RB. Поскольку дуги AP и RB равны, то хорды АВ и PR параллельны. Но в таком случае CP перепендикулярно PR. Значит, CR - диаметр, поскольку на него опирается прямой угол CPR. Точка G (основание медианы в исходном треугольнике) делится диаметром CR пополам.
Значит, либо CR перепендикулярен хорде АВ (этого не может быть, так как медиана CG по условию не совпадает с высотой CD), либо хорда АВ сама является диаметром. А в этом случае угол АВС является прямым, поскольку опирается на диаметр.
Похожие задачи: