Вписанная в треугольник АВС окружность касается стороны АВ в точке К.

Найти АС, если АС = СК, ВС = 11 и cosA = 1/6

Одно из возможных решений:

Обозначим точку касания окружности со стороной АС через Р, а со стороной ВС через Q.


Пусть АР = АК = х, СР = СQ = y, BQ = BK = 11 - y (воспользовались условием ВС = 11).


Ближайшая цель - получить систему уравнений относительно неизвестных х и у.
Одно уравнение уже есть - теорема косинусов для треугольника АСВ.
Второе, например, теорема косинусов для треугольника КРС. В этом треугольнике РС = у, СК = х + у (по условию), РК найдём по теореме косинусов из треугольника АРК:


РК = х * √5/3



Косинус угла АСК также можно посчитать:

угол АСК равен 180 градусов минус два угла А, значит, косинус угла АСК равен минус косинус удвоенного угла А, или 1 минус 2 квадрата косинуса угла А, что равно дроби 17/18.



Итак, имеем систему двух уравнений:


(1) 5/3x² = y² + (x + y)² - 2y(x + y)17/18 (теорема косинусов для треугольника КРС);

(2) 121 = (x + y)² + (x + 11 - y)² - 2(x + y)(x + 11 - y)1/6 (теорема косинусов для треугольника АВС).



Первое уравнение однородное. Поделив обе его части на ху (это можно сделать, так как ху не равно 0), получим простое квадратное уравнение относительно переменной t = y/x.

Решив его, находим t = √6, откуда у = х(√6).



Подставив эту замену во второе уравнение, найдём х. Ответ к задаче посчитаем, взяв х + у.