В прямом параллелепипеде основанием служит ромб со стороной, равной a, угол BAD = 60 градусов. Через сторону AD и вершину B1 проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите длину бокового ребра и площадь сечения.

Опустим из точки D перпендикуляры - DH к BC и DH1 к B1C1. Треугольник H1DH - прямоугольный (так как параллелепипед прямой), угол H1DH по условию равен 45 градусов.
Значит, HH1 = DH*tg(45) = DH.
DH найдем из прямоугольного треугольника CHD. Угол HCD = 60 градусов из условия.
Значит, DH = HH1 = боковое ребро = a*sin(60) = a*sqrt(3)/2.

Теперь сечение. Оно у нас параллелограмм, основание AD которого мы знаем, а высота = DH1.
Из треугольника H1DH: DH1 = DH*sqrt(2) = a*sqrt(2)*sqrt(3)/2 = a*sqrt(6)/2

Значит, площадь сечения = DH1*AD = a^2*sqrt(6)/2

Итак, ответ:
Боковое ребро = а * корень из трех пополам
Площадь сечения = а квадрат * корень из шести пополам

Боковое ребро = а * sqrt(3)/2, площадь сечения = а^2 * sqrt(6)/2