В окружности длиной 75пи, проведена хорда, стягивающая дугу в 120 градусов. Вычислите длину дуги и хорды.

1. Окружность состоит из 360 градусов, хорда стягивающая дугу в 120 градусов стягивает треть окружности (360/120=3). Следовательно 75пи/3=25пи.

2. Проведем из центра окружности 2 радиуса к концам хорды. Получим равнобедренный треугольник с углом у центра окружности в 120 градусов, и углами у основания - по 30 градусов (120+30+30=180).

Найдем длину радиуса окружности 2пиR=75пи, R=75/2

Проведем высоту из центра окружности к хорде (основанию равнобедренного треугольника), получим два равных прямоугольных треугольника с известными углами (90, 60, 30 гадусов) и известной гипотенузой (равной длине радиуса). Ищем сначала длину катета (высоты к хорде) против угла в 30 градусов (равен половине гипотенузы), т.е. 75/4, затем по теореме Пифагора находим длину второго катета, равного 1/2 хорды. $$ sqrt{75/2 -75/4} $$. Получаем $$ 5sqrt{3}/2 $$. Следовательно вся хорда будет в два раза длиннее, т.е. $$ 5sqrt{3} $$.