Дан треугольник АВС. На стороне АС взята точка B1 а на стороне ВС — точка A1. Докажите, что отрезки АА1 и ВВ1 пересекаются.
Прямая ВВ1 пересекает сторону АС в точке В1, следовательно, точки А и С располагаются в разных полуплоскостях относительно прямой ВВ1. Две прямые не могут иметь двух точек пересечения, следовательно, отрезок А 1С не пересекает прямую ВВ1, и точки А 1 и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой ВВ1.
Так как точки А1 и С расположены в одной полуплоскости, а точки А и С — в разных полуплоскостях относительно прямой ВВ1, то точки А и А1 расположены в разных полуплоскостях, и следовательно отрезок АА1 пересекает прямую ВВ1.
Рассмотрим положение точек относительно прямой АА1. Точки В и С лежат в разных полуплоскостях, а точки В1 и С — в одной полуплоскости относительно прямой АА1. Значит, точки В и B1 лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AA1 и следовательно отрезок ВВ1 пересекает прямую АА1.
Точка пересечения прямых АА1 и ВВ1 лежит и на отрезке АА1, и на отрезке ВВ1, следовательно, эти отрезки пересекаются. Что
и требовалось доказать.
смотреть решение >>
2. Две окружности с центрами в точках О1 и О2 пересекаются в точках А и А1, а отрезки АВ и АС - их диаметры. Найдите величины углов АА1В и АА1С и докажите, что точки В, А1 и С лежат на одной прямой.
3. Медианы треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 7 см пересекаются в точке О. Найдите расстояние от точки О до прямых, содержащих стороны треугольника.
4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что угол ABD=30*, угол ACB=30*, угол BDC=20*. Найти углы четырехугольника ABCD.
смотреть решение >>
1. Тетраэдр: а)прямые по которым пересекаются плоскости: PDC и ABC?
б) точки пересечения прямой СЕ с плоскостью ADB (это точки Е и С?)
в) точки пересечения прямой DK и ABC (точка D?)
2. Параллелограмм: а) прямые по которым пересекаются плоскости АА1В1 и ACD?
б) точки пересечения прямой МК с плоскостью ABD
в) точки пересечения прямой DK с лоскостью А1В1С1
смотреть решение >>