Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если средняя линия трапеции равна 12 м, а косинус угла при основании трапеции равен Корень из 7/4 (корень из семи деленный на четыре)
Решение: Пусть ABCD – данная равнобедренная трапеция, AB||CD, BC=AD, ABME=12 м-средняя линия трапеции.
Косинус угла при основании равен корень(7)4, значит этот угол при большем основании(косинус острого угла) cos (ADC)=корень(7)4.
Проведем высоту AK к основанию СD.
Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, поэтому
AB+CD=2*ME=2*12 =24 м.
Пусть DK=x м. Тогда DKAD=cos (ADC).
AD=DKcos (ADC)=x корень(7)4=47х*корень(7)
Тогда по теореме Пифагора
AK=корень (AD^2-DK^2)= корень((47х*корень(7))^2-х^2)=
=37*корень(7)*х
Для того, чтобы четырёхугольник был описанным, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым и имел равные суммы противоположных сторон: a + c = b + d.
А учитывая, что трапеция равнобедренная, то получаем
24=2* 47х*корень(7), откуда
х=3*корень(7)
AK=37*корень(7)*х=37*корень(7)* 3*корень(7)=9 м
Радиус вписанной окружности в трапецию равен половине высоты, поэтому
Радиус вписанной окружности рамен 92=4.5 м
Ответ: 4.5 м