В ромб со стороной aи острым углом Lвписана окружность. Найдите радиус второй окружности, вписанной в острый угол ромба и касающейся первой окружности.

Решение: Пусть АBCD – данный ромб, угол А=угол С=L. Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонамиS=AB^2 *sin AS=a^2* sin LПолупериметр робма равен полусумме сторон ромбаp=4*a2=2*a. Площадь ромба равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружностиS=p*r. Откудаr=Sp= a^2* sin L (2*a)=a2* sin LПусть  X, Y – точки касания вписанной в ромб  окружности со сторонами AB и AD соответсвенно, пусть H – точка пересечения, прямой FG, перпендикулярной к  диагонали АС, вторая окружность касается сторон  AB и AD  и соприкасается с первой окружностью в точке H, значит вторая окружность – окружность вписанная в треугольник AFG. Угол B=угол D=180 – угол А=180-LДиагональ АС ромба равна по теореме косинусовAC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos B==a^2+a^2-2*a*a*cos (180-L)=2*a^2* (1+cos L)AC=корень(2*a^2* (1+cos L))=2*а*|cos L2|=2*a*cos (L2)(воспользовались формулой понижения квадрата косинуса) Пусть О – центр вписанной в ромб окружности. Диагонали ромба пересекаються и в точке пересечения делятся пополам, причем точка пересечения является центром вписанной в ромб окружности(свойство ромба) Значит АО=12*АС=12*2*a*cos (L2)= a*cos (L2) Далее AH=AO-OH= a*cos (L2) -a2* sin L=a*cos (L2)*(1-sin(L2))AF=AHcos (A2)= a*cos (L2)*(1-sin(L2)) cos (L2)== a*(1-sin(L2))FH=AH*tg (A2)= a*cos (L2)*(1-sin(L2))*tg (L2)= a*sin (L2)*(1-sin(L2))FG=2*FH=2* a*sin (L2)*(1-sin(L2)) Треугольники AFH и AGH равны как прямоугольные за катетом и острым углом(угол FAH=угол GAH – диагональ ромба есть его биссектриссой – свойство ромба, AH=AH,Прямая FG касательная к первой окружности, значит перпендикулярная к АС, отсюда углы FHA и GHA  прямые). Из равенства треугольников получаем AF=AGПлощадь треугольника равна произведению половины основания на висоту. Площадь треугольника AFH :S (AFG)=FH*AH= a*sin (L2)*(1-sin(L2))* a*cos (L2)*(1-sin(L2))=12*a^2  *sin L *(1-sin(L2))*^2Полупериметр треугольника равенp (AFG)= (AF+FG+AG)2=( a*(1-sin(L2))+ a*(1-sin(L2))+ 2* a*sin (L2)*(1-sin(L2)))2=a*(1-sin(L2))+ a*sin (L2)*(1-sin(L2))= a*(1-sin(L2))*(1+sin(L2))=a*(1-sin^2 (L2))=a*cos^2 (L2) Радиус вписанной окружности в треугольник равен площадьполуперимтер,Радиус равен  12*a^2  *sin L *(1-sin(L2))*^2 ( a*cos^2 (L2))==a*tg (L2)*(1-sin(L2))^2Ответ:  a*tg (L2)*(1-sin(L2))^2