Даны три луча а, b, с с общей начальной точкой. Известно, что ∠(ab) = ∠(ac) = ∠(bc) = 120°.

1) Проходит ли какой-нибудь из этих лучей между сторонами угла, образованного двумя другими лучами?

2) Может ли прямая пересекать все три данных луча? Объясните ответ.

1) Пусть один из этих лучей проходит между сторонами угла, образованного двумя другими лучами. Тогда он образует со сторонами этого угла углы, равные 120°, значит, этот луч является биссектрисой угла в 240°, а он, по условию, равен 120°. Противоречие. Таким образом, ни один из этих лучей не может проходить между сторонами угла, образованного двумя другими лучами.

2) Пусть прямая d не проходит через общую точку лучей а, b, с и пересекает их в точках А, В, С. Одна из этих точек лежит между двумя другими точками. Предположим, это точка С. тогда луч С пересекает отрезок АВ, а т.к. отрезок АВ находится внутри угла Z(ab), то это означает, что луч С проходит между сторонами Z(ab), но это противоречит доказанному в п. 1 данной задачи. Таким образом, не существует прямой, пересекающей все три луча.