Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Определить площадь круга, если угол при основании трапеции равен 30 градусов.

Пусть имеем трапецию ABCD, AB=CD, AD>BCC вершин трапеции B и C на AD опустим высоты BK и CL соответственно. Так как трапеция описана около круга, то высота трапеции равна 2r, то есть BK=CL=2r

Из треугольника ABK, имеем  $$ tg(A)=BK/AK => AK=BK/tg(30°)=2r : 1/sqrt{3}=2sqrt{3}r  AK=LD= 2sqrt{3}rBC=2r, $$ так как окружность вписана в трапецию $$ AD=AK+LD+KL==2sqrt{3}r+2sqrt{3}r+2r==4sqrt{3}r+2r;Sтр=(BC+AD)*BK/2S=(2r+4sqrt{3}r+2r)*2r/2S==r^2(4+4sqrt{3}) => r^2=S/(4+4sqrt{3}) $$ Площадь круга равна $$  S=pi*r^2   S=S*pi/(4+4sqrt{3}) $$