Докажите, что внешний угол треугольника в два раза больше острого угла между биссектрисами углов, не смежных с ним.

Проведем в тр. АВС биссектрисы углов А и В: АК и ВМ. О - точка пересечения биссектрис.. Пусть угол, смежный углу С -  х., а острый угол между биссектрисами: ВОК = АОМ = а. Найдем углы 4-угольника МОКС: По свойству внешнего угла тр-ка: ОКС = а + В/2 (внешний к тр. ВОК) ОМС = а + А/2 (внешний к тр. АОК) МОК = 180-а (смежный с углом а) Еще пригодится соотношение между углами А и В  и а:а = А/2  +  В/2 (внешний к тр. АОВ)    (1) Итак угол МСК 4-ника МОКС, с одной стороны равен 180 - х (как смежный углу х), с другой стороны: МСК = 360 - (ОКС+ОМС+МОК) ( так как сумма всех углов выпуклого 4-ника равна 360 гр). Получим уравнение:360-(а+В/2+а+А/2+180-а) = 180-х180 - а - (А+В)/2 = 180 - х. И с учетом (1) получим:-2а = -хх = 2а,   что и требовалось доказать