1. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла разделила катет на отрезки 15 и 12. Найдите площадь треугольника.

2. Точка M лежит внутри равностороннего треугольника на расстоянии 3√3 от двух его сторон и на расстоянии 4√3 от третьей стороны. Найдите длину сторон треугольника.

3. Стороны треугольника относятся как 13:14:15, а высота, проведенная к большей стороне равна 33,6. Найдите большую сторону.

4. В треугольнике ABC сторона AC равна 21, высота BH равна 12, синус угла A равен 0,6. Найдите длину отрезка CH.

5. Площадь остроугольного треугольника равна 10√3 , а две его стороны равны 5 и 8. Найдите третью сторону.

1) Биссектриса делит сторону, к которой проведена, на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Приняв гипотенузу треугольника за    15 * Х, а второй катет за 12 * Х, по теореме Пифагора получаем(15 * Х)² = (12 * Х)² + 27²225 * Х² = 144 * Х² + 72981 * Х² = 729 ,  откуда  Х² = 9 ,  а  Х = 3 см. Тогда второй катет равен  12 * 3 = 36 см, а площадь треугольника 27 * 36 / 2 = 486 см² 



2) Точка М лежит на расстоянии 6 * √ 3  от вершины (катет, противолежащий углу 30°, вдвое меньше гипотенузы). Тогда высота треугольника равна4 * √ 3 + 6 * √ 3 = 10 * √ 3 см, а сторона треугольника 10 * √ 3 / sin 60° = 20 см. 



3) Примем стороны треугольника за 13 * Х, 14 * Х и 15 * Х см.
Вычислим его площадь по формуле Герона
S = √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c))  .  где  p = (a + b + c)/2
В данном случае   р = (13 * Х + 14 * Х + 15 * Х) / 2 = 21 * X.  Тогда
S = √ (21 * X * 8 * X * 7 * X * 6 * X) = 84 * X² ,  а высота, проведенная к большей стороне  
h = 2 * S / c = 2 * 84 * X² / (15 * X) = 11,2 * X = 33,6 ,откуда  Х = 3 см.,
а большая сторона  3 * 15 = 45 см. 



4) АН = ВН * ctg A = BH * √ (1 - sin²A) / sin A = 12 * 0,8 / 0,6 = 16 см,   а  СН = АС - АН = 21 - 16 = 5 см. 



5) S = a * b * sinα / 2В данном случае   5 * 8 * sin α / 2 = 20 * sin α = 10 * √ 3, откуда sin α = √ 3 / 2
Далее воспользуемся теоремой косинусов.с² = a² + b² - 2 * a * b * cos α
теперь возможны 2 варианта:  cos α = 1 / 2  и  cos α = -1 / 2
Для первого варианта с² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * 1/2 = 25 + 64 - 40 = 49  и  с = 7 см.
Для второго варианта
с² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * (-1/2) = 25 + 64 + 40 = 129  и  с = √ 129 ≈ 11,36 см.