В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Смежные стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см. Найдите разность периметров треугольника AOB и треугольника AOD.

1) Диагонали параллелограма пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то есть АО=АС, ВО=ОД. Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов смежных сторон, то есть АС2+ВД2=2*(АВ2+ВС2). АС2+ВД2=2*(100+225)=650, ВД=корень из (650-АС2), ВО=0,5*корень из (650-АС2), АО=0,5*АС. Р(АОВ)=0,5*АС+0,5*корень из (650-АС2)+10. Р(СОВ)=15+0,5*АС+0,5*корень из (650-АС2). Р(СОВ)-Р(АОВ)=5 (кроме чисел 10 и 15 два показателя равны)

---

2) Сумма углов равна 360 градусов. Два угла по 45 градусов дают в сумме 90 градусов. Значит 2 остальных угла равняются 270 градусов, каждый по 135 градусов (угол В и угол Д). Угол АВД+угол СВД=135, Угол АВД=90, значит угол СВД=45 градусов. В треугольнике СВД угол В = углу С = 45 градусов. Он равнобедренный. ВС=СД. За теоремой Пифагора ВС2+СД2=ВД2, 2СД2=ВД2, 2СД=49, СД2=49/2, СД=7/(корень из 2) см.

---

3) Пусть точка Е является продолжением стороны ВС, прямая АЕ перпендикулярна прямой ВС. Соответственно точка М пусть будет продолжением прямой АД. прямая СМ перпендикулярна прямой АД. Образовался прямоугольник АЕСМ. За теорией противоположные стороны прямоугольника равны, АЕ=СМ, СЕ=АМ. Диагонали прямоугольника равны, АС=ЕМ=9 см.

---

4)б) АД=АМ+ДМ, ДМ=АВ=8,5 см, АД=8,5+3,5=12 см. Р(АВСД)=2*(АВ+АД)=2*(12+3,5)=31 см.а) Треугольник СДМ равнобедренный, так как МД=ДС. Угол СМД=углу МСВ, так как ВС параллельна АД. Соответственно в равнобедренном треугольнике СМД углы при основании равны, то есть угол СМД=углу МСД. Вывод: угол МСВ=углу МСД, значит прямая СМ является биссектрисой угла С.