Докажите, что если концы ломаной лежат по разные стороны от данной прямой, то она пересекает эту прямую.

Докажем, что у прямой и ломаной найдется хотя бы одна общая точка.

Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости а₁ и а₂, в которых лежат концы А_1; и А_n ломаной А₁А₂,... А_п. Докажем, что у прямой а и ломаной найдется хотя бы одна общая точка. Допустим, что А₁ ∈ а₁, А_n ∈ а₂. Каждая из вершин А₂А₃... А_n-1 принадлежит одной из полуплоскостей или прямой а. Если А₂ ∈ а₂, то отрезок А₁А₂, пересекает прямую а, если А₂ ∈ а, то А₂ является общей точкой прямой и ломаной. Если А₂ ∈ а₁ то рассмотрим вершину А₃ и т.д. То есть если А₃ ∈ а₂, то отрезок А2А3 пересечет прямую а, если А₃ ∈ а, то А₃ является общей точкой прямой и ломаной. Если А₃ ∈ а₁, перейдем к рассмотрению вершины А4 и т.д. Допустим, что среди вершин А₁,A₂,... А_n-1 не найдется ни одной, которая бы лежала в а₂ или на прямой а, то в этом случае отрезок А_n-1А_n пересечет прямую а. Что и требовалось доказать.