Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4, а двугранный угол при основании равен 45 градусов. Найдите объём пирамиды.

В пирамиде SABC проведем высоту SO. Так как пирамида правильная, эта высота совпадает с цетром треугольника в основания. В грани SAB проведем апофему SH. Треугольник SOH прямоугольный с углом SHO, равным 45 градусов, значит, он равнобедренный, и OH=SO. OH=1/3CO, так как O - точка пересечения медиан, а CO - медиана. Тогда OH=2\sqrt(3)/3, SO=2\sqrt(3)/3. Площадь основания находим по формуле S=\sqrt(3)a^2/4, здесь a=4, тогда S=4\sqrt(3). V=1/3SH, отсюда V=1/3*2\sqrt(3)/3*4\sqrt(3)=2.