В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен а, острый угол 45°. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол 60°. Найдите объем цилиндра.

Треугольник прямоугольный с углом 45, следовательно и второй угол =45. То есть треугольник равнобедренный. Отсюда, по теореме Пифагора его диагональ АС=а*(корень из2). Основание цилиндра это окружность радиусом R=АС/2. Поскольку центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы. Отсюда R=а*(корень из 2)/2. Обозначим призму. АВСА1В1С1. Проведём диагональ большей грани АС1. По условию угол С1АС=60. Тогда высота призмы и цилиндра Н=СС1=АС*tg60=а*(корень из 2)*(корень из 3)=а*(корень из 6). Тогда объём цилиндра V=пи*(R квадрат)*Н=пи*((а*(корень из 2)/2)квадрат*а*(корень из 6)=пи(а куб)*(корень из 6)/2.