Формулы:$$ a = 2*r*tg\frac{\pi}{n} - $$ сторона правильного многоугольникаr - радиус вписанной окружностиn - количество сторон многоугольника$$ C = 2\pi*r $$  - длина произвольной окружности r - радиус окружности. Из второй формулы выразим радиус и подставим в первую.
$$ a = 2*\frac{C}{2\pi}*tg\frac{\pi}{n} $$ подставим известные значения в полученное выражение:
$$ 4\sqrt{3} = \frac{12\pi}{\pi}*tg\frac{\pi}{n} \\ tg\frac{\pi}{n} = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{\pi}{n} =\\= \frac{\pi}{6} \\ n=6 $$

Вот интересно. L = 2*pi*R = 12*pi;поэтому R = 6;
Дальше, угол между радиусом, проведенным в точку касания, и радиусом, проведенным в вершину многоугольника, имеет величину Фtg. Ф = 2*корень(3)/6 = корень(3)/3. Ф = 30 градусов. соответственно, центральный угол между радиусами, идущими в соседние вершины, равен 60 градусам. Поэтому это 6-угольник.

Похожие задачи: