Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что через точку пересечения любых двух прямых проходит по крайней мере еще одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.

Из условия следует, что можно разбить наши шесть прямых на две тройки; пусть прямые 1, 2 пересекаются в точке O₁, прямые 4, 5 и 6 в точке О₂, а прямые 6 и 1 пересекаются в точке О₃. По условию через точку О₃ должна проходить еще хотя бы одна прямая, кроме прямых 6 и 1, это возможно только если все три точки O₁, O₂ и O₃ совпадают. Предположим противное, тогда через точку О₃ проходит хотя бы одна из прямых 2, 3, 4 или 5, что невозможно, поскольку через две точки O₁ и O₂ или O₂ и O₃ на плоскости можно провести только одну прямую, или какие-то прямые совпадают, что противоречит условию, значит, наше предположение неверно, и все шесть прямых проходят через одну точку.