Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 - прямоугольник ABCD, в котором AB=12, AD=корень из 31. Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 5.

Высота призмы H = DD₁ = d(AC, B₁D₁) = 5 
BD² = AB² + AD² = 175 
BD₁ = √(BD² + DD₁²) = 10√2 
α - плоскость, проходящая через середину ребра АВ перпендикулярно прямой BD₁ 
cos(∠(BD₁, ABCD)) = cos(∠DBD₁) 
cos(∠(α, ABCD)) = сos(90 - ∠DBD₁) = sin(∠DBD₁) = DD₁/BD₁ = 5/(10√2) = (√2)/4 

Ответ: (√2)/4 

высота (призмы):h = DD1 = d*(AC, B1D1) = 5 
BD² = AB² + AD² = 175
BD1 = корень из(BD² + DD1²) = 10*корень из 2 
α - плоскость
кос(угла(BD1, ABCD)) = кос(угла DBD1) 
кос(угла (α, ABCD)) = кос(90 - угла DBD1) = син(угла DBD1 = DD1/BD1 = 5/(10*корень из 2) = (корень из 2)/4