Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне.

Решение

Даны три отрезка M₁N₁, M₂N₂, M₃N₃ (рис. 148, а). Требуется построить такой треугольник ABC, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны соответственно данным отрезкам M₁N₁ и M₂N₂, а высота АН равна отрезку M₃N₃. Проведем решение задачи по описанной схеме.

Анализ

Допустим, что искомый треугольник ABC построен (рис. 148, б). Мы видим, что сторона АВ и высота АН являются гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника АВН. Поэтому построение треугольника ABC можно провести по такому плану: сначала построить прямоугольный треугольник АВН, а затем достроить его до всего треугольника ABC. Построение

Строим прямоугольный треугольник АВН, у которого гипотенуза АВ равна отрезку M₁N₁, а катет АН равен данному отрезку M₃N₃. Как это сделать, мы знаем (задача 314, в). На рисунке 149, а изображен построенный треугольник АВН. Затем проводим окружность радиуса M₂N₂ с центром в точке А. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой ВН обозначим буквой С. Проведя отрезки ВС и АС, получим искомый треугольник ABC (рис. 149, б).

Доказательство

Треугольник ABC действительно искомый, так как по построению сторона АВ равна M₁N₁, сторона АС равна M₂N₂, а высота АН равна M₃N₃, т. е. треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи. Исследование

Нетрудно сообразить, что задача имеет решение не при любых данных отрезках M₁N₁, M₂N₂, М₃N₃. В самом деле, если хотя бы один из отрезков M₁N₁ и M₂N₂ меньше M₃N₃, то задача не имеет решения, так

как наклонные АВ и АС не могут быть меньше перпендикуляра АН. Задача не имеет решения и в том случае, когда M₁N₁=M₂N₂=M₃N₃ (объясните почему). В остальных случаях задача имеет решение. Если М₁N₁>М₃N₃, а M₂N₂=M₃N₃, то задача имеет единственное решение: в этом случае сторона АС совпадает с высотой АН и искомый треугольник является прямоугольным (рис. 149, в). Если М₁N₁>М₃N₃, а M₂N₂=M₁N₁ то задача также имеет единственное решение: в этом случае треугольник ABC равнобедренный (рис. 149, г). И наконец, если M₂N₂>M₃N₃ и М₁N₁≠М₂N₂, то задача имеет два решения — треугольники ABC и АВС₁ на рисунке 149, д.