Даны две точки А и B и прямая а, не проходящая через эти точки. На прямой а постройте точку, равноудаленную от точек А и B. Всегда ли задача имеет решение?

Проведем срединный перпендикуляр l к отрезку АВ. Точка С пересечения прямых l и а - искомая.

Исследование. Если прямая АВ перпендикулярна прямой а, то прямая l параллельна прямой а, т. е. решений нет. Если прямая а совпадает с прямой l, то решений бесконечно много. В остальных случаях существует только одно решение.