В трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Средняя линия трапеции пересекает диагонали в точках M и N. Найдите отношение площади треугольника MON к площади трапеции.

Проведем ВК II AC. Продлим АD до пересечения с ВК, К как раз обозначим точку пересечения. КВСА - параллелограмм. КА = ВС., Обозначим ВС = х, тогда АD = 3*x, КD = 4*х. площадь треугольника КВD = площади трапеции. (Если обозначить высоту трапеции за Н, эти площади будут 2*х*Н);



Далее, проводим среднюю линию трапеции. Её длина равна 2*х. Обозначим P и Q точки пересечения средней линии с боковыми сторонами AB и СD. Ясно, что PM = NQ = х/2 (Это средние линии в треугольниках с основанием х). Поэтому MN = 2*х - 2*(х/2) = х. Треугольники MNO и KBD подобны, ну хотя бы потому что их стороны попарно параллельны (сторона МО  - вообще часть BD). При этом их стороны относятся как MN/KD = 1/4;



Поэтому отношение площадей этих треугольников равно (1/4)^2 = 1/16; KBD, как уже показано, его площадь равна площади трапеции.